材料力学

本章所介绍的内容及方法极为重要。因为它将影响对整个材料力学的学习，如内力、应力、变形和应变等重要概念，是材料力学这门课程的基本概念。计算内力的截面法，是材料力学的一个基本方法，在后面的学习中会经常使用。

在学习本章时,应注意正确理解内力、应力、变形和应变等基本概念。

1. 材料力学研究的内力是“附加内力”

固体为了保持外形,其内部各质点之间已有初始内力,这种初始内力不是材料力学研究的范围,材料力学所研究的内力是在外力作用下固体内各质点间相互作用力的改变量,即“附加内力”,通常简称为内力。这样的内力随外力的增加而增大。到达某一极限时就会引起构件破坏,因此它与构件的强度是密切相关的。

2. 截面法的实质

截面法是材料力学中的基本方法,用来显示和计算构件内任意截面处的内力。截面法的实质:构件整体及其中的任一部分都处于平衡状态,所以构件整体及其中的任一部分都应满足静力平衡条件。假想截开后,对保留部分运用静力平衡条件,由已知外力求出切开截面上的未知内力,即为截面法。用截面法求得的内力是截面上连续分布的内力系向截面上某一点(通常取截面形心)简化后得到的主矢和主矩。

3. “应力”与“压强”的区别

虽然“应力”与“压强”量纲相同，但两者的物理意义不同。应力是构件内一点处的内力集度，而压强是单位面积上的外力；应力一般不垂直于截面，它可分解为垂直于截面的正应力 σ 和切于截面的切应力 τ ，而压强一般垂直于作用面；压强常呈均匀分布，而应力的分布要复杂得多；压强一般作用于物体表面，而应力存在于物体内部的任意一点。

4. “变形”与“应变”的联系与区别

“变形”是指物体大小和形状的变化。沿某一方向线段长度的改变量，称为线变形；任意角角度的改变量，称为角变形。线变形（或角变形）与线段的长度（或角度的大小）有关，而线应变 ε （或角应变 γ ）消除了长度（或角度）的影响，它们只与点的位置和指定的方向有关； ε 是对过某点的某一方向而言， γ 则是对过某点的某一对垂直方向而言，因此， ε 和 γ 必须指明是哪一点、沿哪一个（或一对）方向； ε 和 γ 都是无量纲的量， γ 一般用 rad（弧度）表示。

材料力学所研究的问题是构件的强度、刚度和稳定性；构成构件的材料是可变形固体；对材料所作的基本假设是均匀连续性和各向同性假设；材料力学所研究的构件主要是杆件；杆件的基本变形形式：拉伸（或压缩）、剪切、扭转和弯曲。

思考题

1.1 对例 1.1 中的交通信号灯支架,能否研究 m—m 截面右半部分或 n—n 截面下半部分的平衡,以确定截面的内力?

1.2 材料相同、横截面积相等的两根轴向拉伸的等直杆，一根杆伸长量为 10 mm，另一根杆伸长量为 0.1 mm。前者为大变形，后者为小变形。该说法是否正确？为什么？

习题

1.1 试求图 1.11 中结构 m-m 和 n-n 两截面的内力，并指出 AB 和 BC 两杆件的变形属于哪种基本变形。

1.2 在图 1.12 所示简易吊车的横梁上, 力 F 可以左右移动。试求截面 1—1 和 2—2 上的内力及其最大值。

图1.11

图1.12

1.3 如图 1.13 所示, 在杆件的斜截面 m-m 上, 点 A 处的全应力 p=120 MPa, 其方向与杆轴线夹角 θ=20∘ , 试求 A 点处的正应力 σ 与切应力 τ 。

答： σ=118.18MPa,τ=20.84MPa 。

1.4 如图 1.14 所示, 拉伸试样上 A、B 两点的距离 l 称为标距, 受拉力作用后, 用应变仪测量出两点距离的增量 Δl=5×10-2,mm 。若 l 的原长为 100 mm, 试求 A、B 两点间的平均线应变 εm 。

答： εm=5.00×10-4 。

图1.13

图1.14

1.5 矩形平板 ABCD 的变形为图 1.15 中虚线 AB′C′D′ 所示。试求棱边 AB 与 AD 的平均线应变，以及 A 点处 xy 平面内的切应变。

答： εAB,m=1.00×10-3,εAD,m=2.00×10-3,γA=1.00×10-3rad 。

1.6 如图 1.16 所示, 圆形薄板的半径为 R, 变形后 R 的增量为 ΔR 。若 R=80,mm , ΔR=3×10-3,mm , 试求沿半径方向和边界圆周方向的平均应变。

答： 。

图1.15

图1.16

提高题

1.1 构件的强度、刚度和稳定性（ ）。（山东大学2019）

A. 仅与材料的力学性能有关

B. 仅与构件形状尺寸有关

C. 与上述二者有关

D. 与上述二者都无关

1.2 关于弹性体受力后某方向应力和应变的关系,以下结论正确的是( )。(中南大学2014)

A. 有应力一定有应变, 有应变不一定有应力

B. 有应力不一定有应变, 有应变不一定有应力

C. 有应力不一定有应变, 有应变一定有应力

D. 有应力一定有应变, 有应变一定有应力

1.3 下列说法中,错误的是( )。(昆明理工大学 2020)

A. 根据各向同性假设, 可认为材料的弹性常数在各方向都相同

B. 根据均匀性假设, 可认为构件的弹性常数在各点处都相同

C. 若物体内各部分均无变形, 则物体内各点的应变必为零

D. 若物体内各部分均无变形, 则物体内各点的位移必为零

1.4 如图 1.17 所示各单元体中，虚线表述受力变形后的情况， α 代表转角（弧度），它们的剪应变分别是 γa= ____、 γb= ____、 γc= ____。（暨南大学 2016）

图1.17

1.5 在静力学中,将研究对象看作刚体;而在材料力学中,又将研究对象看作变形体,是何原因?其中对变形固体的三个基本假设是什么?(扬州大学2013)

拓展阅读

材料力学的开端与发展

人类对于材料力学的认识在很早就开始了，如在搭建房屋时，必须考虑梁结构的选材、尺寸设计等问题，以保证结构安全，不发生断裂。这时人们就开始了材料力学知识的积累。最早系统研究材料力学知识的人是文艺复兴时期著名的画家达·芬奇。达·芬奇在完成画作之后，总需要将画挂起来供人们欣赏，但有时悬挂画作的铁丝会发生断裂，这就引起了达·芬奇的好奇。为了弄清楚铁丝的强度，达·芬奇首先对不同长度的铁丝进行了研究。此外，达·芬奇还对不同长度梁的承载能力及不同长度和截面尺寸的柱进行了研究。这些努力使达·芬奇成为最先试图用静力学来求构件上力的人，同时也是最先通过试验来了解结构材料强度的人。然而，这些重要的结果一直都被埋没在他的笔记中，直到17世纪，意大利科学家伽利略（图1.18)进行了一系列研究，才将材料力学引入人们的视野。

图 1.18

图 1.19

1638年，伽利略的名著《关于两门新科学的对话》，标志着材料力学开始成为一门独立的学科。在该书中伽利略尝试用科学的解析方法确定构件的安全尺寸。讨论的第一个问题是直杆轴向拉伸问题，他得到了承载能力与横截面积成正比而与长度无关的正确结论。

伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问题(见图1.19)。按今天的结论,当时他所得的弯曲正应力公式并不完全正确,但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力和 bh2(b,h 分别为截面的宽度和高度)成正比,圆截面梁承载能力和 d3(d 为横截面直径)成正比的正确结论。对于空心梁承载能力的叙述则更为精彩,他说,空心梁“能大大提高强度而无需增加重量,所以在技术上得到广泛应用。这样的例子在自然界中就更为普遍了,在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到,它们既轻巧,又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力”。

俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基于 1855 年得到横力弯曲时的切应力计算公式。30 年后，他的同胞别斯帕罗夫开始使用弯矩图，其被认为是历史上第一个使用弯矩图的人。

随后，材料力学在惠更斯、库仑、麦克斯韦、欧拉、柯西、汤姆斯杨、伯努利、纳维叶、圣维南等人的努力下逐步发展与完善，形成了独立的理论体系，建立了理论与实验相结合的分析和解决问题的方法。材料力学的理论与计算公式，在各工程部门的结构设计中被广泛地采用，并成为当今世界超高建筑、铁路、桥梁、重型机械、水利工程、航空航天工程等一系列重大工程的理论支撑。

资料来源：

[1]伽利略．关于两门新科学的对话[M]. 武际可,译. 北京:北京大学出版社,2006.

[2]铁木生可．材料力学史[M].常振楫，译．上海：上海科学技术出版社，1961.