思维导图
课前导读
理论力学的研究对象主要是质点和质点系及刚体和刚体系，而工程实践中物体在外力作用下会产生变形，因此研究变形体的力学特性对于工程实践尤为重要。在静力学中，根据力的平衡条件，可解决构件外力的计算问题。然而在外力作用下，如何保证构件正常工作，即保证构件具有足够的承载能力，有待进一步研究。材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。本章介绍材料力学的基础知识、研究方法以及材料力学对于工程设计的重要意义。
1.1 材料力学的任务
“材料力学”(mechanics of materials 或 strength of materials)的研究内容分属两个学科。一是固体力学，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析 (analysis of the stress)；二是材料科学中材料的力学行为 (behaviors of materials)，即研究材料在外力和温度作用下所表现出的变形性能和失效 (failure) 行为。但材料力学所研究的仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料的微观机理。以上两个方面的结合使材料力学成为工程设计 (engineering design) 的重要组成部分。
工程或机械结构的各组成部分称为构件(structural member)。例如，建筑物的梁和柱、机床的主轴、起重机大梁等。工程或机械结构工作时，构件将受到载荷的作用。例如，建筑物横梁受自身重力和其他物体重力的作用，车床主轴受齿轮啮合力和切削力的作用，起重机大梁受到起吊物重力的作用等。构件一般为固体，当其受力过大时，将会发生破坏而造成事故，或者构件在受力后产生过大的变形而影响机器或结构的正常工作。为保证工程或机械结构的正常工作，构件应具有足够的承载能力担负所应承受的载荷。因此它应当满足以下要求：
(1) 强度要求 在规定载荷作用下的构件不应破坏。例如，冲床曲轴不可折断，储气罐不应爆裂。强度(strength)是指构件在载荷作用下抵抗破坏的能力。
(2) 刚度要求 在载荷作用下, 构件的尺寸和形状将发生变化, 称为变形 (deformation)。若构件变形过大, 即使有足够的强度, 但仍不能正常工作。例如, 若齿轮轴变形过大 [图 1.1(a)], 将使轴上的齿轮啮合不良, 造成齿轮和轴承的不均匀磨损, 引起噪声。机床主轴如果变形过大 [图 1.1(b)], 将影响加工精度。刚度 (stiffness) 是指构件在外力作用下抵抗变形的能力。
(3)稳定性要求 有些受压力作用的细长杆,如内燃机的挺杆[图1.2(a)]、千斤顶的螺杆[图1.2(b)]等,应始终保持原有的直线平衡形态,保证不被压弯。稳定性(stability)是指构件保持其原有平衡形态的能力。
图1.1
图1.2
强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的3个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。设计构件时，除了要求构件能够正常工作外，还应考虑合理地使用和节约材料。若构件的截面尺寸过小，或截面形状不合理，或材料选用不当，将不能满足承载要求，从而影响机械或工程结构的正常工作。反之，若构件的截面尺寸过大，或材料太好，虽满足了上述要求，但构件的承载能力难以充分发挥，这样既浪费了材料，又增加了成本和结构重量。材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。
在实际工程问题中，构件都应有足够的强度、刚度和稳定性，但就一个具体构件而言，对上述三项要求往往有所侧重。例如，氧气瓶以强度要求为主，车床主轴以刚度要求为主，而挺杆则以稳定性要求为主。此外，对某些特殊构件，可能还有相反的要求，如为保证机器不至于因超载而造成重大事故，当载荷到达某一极限时，要求安全销立即破坏。又如为发挥缓冲作用，车辆的缓冲弹簧应有较大的弹性变形。
构件的强度、刚度和稳定性，显然都与材料的力学性能(材料在外力作用下表现出来的变形和破坏等方面的特性)有关。而材料的力学性能需通过实验来测定。此外，材料力学中的一些理论分析方法，大多是在某些假设条件下得到的，是否可靠需要由实验来验证。还有一些问题尚无理论分析结果，也需借助实验的方法来解决。因此，在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。
1.2 变形固体的基本假设
固体因外力作用而变形,故称为变形固体或可变形固体。固体有多方面的属性,在研究构件的强度、刚度和稳定性时,为便于研究,必须忽略某些次要性质,只保留它们的主要属性,将其简化为一个理想化的力学模型。因此,对变形固体作下列假设。
(1)连续性假设(continuity assumption):认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积。实际上,组成固体的粒子(分子或原子)间存在着空隙并不连续,但这种空隙与构件的尺寸相比极其微小,可以忽略不计,于是认为固体在其整个体积内是连续的。这样,当把某些力学量看作是固体内点的坐标的函数时,对这些量就可以进行坐标增量为无限小的极限分析。
(2)均匀性假设(homogenization assumption):认为在固体内部各处有相同的力学性能。如就多晶体构成的金属而言,组成其各晶粒的力学性能不一定完全相同,因其内部包含为数极多的晶粒,且无规则地排列,固体的力学性能是各晶粒的力学性能的统计平均值,所以可以认为其各部分的力学性能是均匀的。
材料力学研究构件受力后的强度、刚度和稳定性，把它抽象为均匀连续的模型，基本可以得出满足工程要求的理论。但是，根据均匀、连续的假设所得出的理论，并不能用来说明物体内部某一极微小部分所发生现象的本质。
(3)各向同性假设(isotropy assumption):认为材料沿各个方向的力学性能均相同。这个假设对许多材料来说是符合的,如均匀的非晶体材料,一般都是各向同性的。对金属等由多晶体组成的材料,虽然每个晶粒的力学性质有方向性,但金属构件包含数量极多的晶粒,且无规则排列,这样沿各个方向的力学性能就接近相同了。具有这种属性的材料称为各向同性(isotropy)材料,如钢、铜、玻璃等。
沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性(anisotropy)材料,如木材、胶合板和某些人工合成材料等。在材料力学中,研究各向同性材料所得的结论,也可近似地用于各向异性材料。
还须指出，工程实际中构件受力后的变形一般相较于其原始尺寸来说要小得多，称为小变形(small deformation)。因此在分析构件上力的平衡关系时，变形的影响可忽略不计，仍按构件的原始尺寸进行计算。例如，在图1.3中，简易吊车的各杆因受力而变形，引起支架几何形状和外力位置的变化。但由于 δ1 和 δ2 都远小于吊车的其他尺寸，因此在计算各杆受力时，仍然可用吊车变形前的几何形状和尺寸。今后将经常使用小变形的概念以简化分析计算。如果构件受力后的变形很大，其影响不可忽略，则须按构件变形后的尺寸来计算。前者称为小变形问题;后者称为大变形问题。材料力学一般只研究小变形问题。
图1.3
1.3 外力及其分类
材料力学的研究对象是构件。当研究某一构件时，可以设想把这一构件从周围物体中单独取出来，并用力来代替周围各物体对构件的作用。这些来自构件外部的力就是外力(external forces)[包括载荷(load)和支座反力(reaction of support)]。
外力按作用方式可分为表面力(surface force)和体积力(body force)。表面力是作用于物体表面的力，又可分为分布力(distributed force)和集中力(concentrated force)。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于油缸内壁上的油压力、作用于船体上的水压力等。有些分布力是沿杆件的轴线作用的。若外力分布面积远小于物体的表面尺寸，或沿杆件轴线分布范围远小于轴线长度，就可看作是作用于一点的集中力。例如，车轮对桥面的作用力[图1.4(a)]可视为集中力，用力 F1 、 F2 表示。而桥梁的重力可视为分布力[图1.4(b)]，用载荷集度q来表示。体积力是连续分布于物体内部各点的力，例如物体的重力和惯性力等。
图1.4
按载荷随时间变化的情况，载荷又可分为静载荷(static load)和动载荷(dynamic load)。若载荷缓慢地由零增加到某一定值，以后保持不变，或变动很不显著，即为静载荷。例如，将设备缓慢地放置在地基上时，设备的重量对地基的作用便是静载荷。若载荷随时间而变化，则为动载荷。随时间作周期性变化的动载荷称为交变载荷，如齿轮转动时，作用于每一个齿上的力都是随时间作周期性变化的。冲击载荷则是物体的运动在很短时间内发生突然变化所引起的动载荷，如急刹车时飞轮的轮轴、锻造时汽锤的锤杆等都受到冲击载荷的作用。
材料在静载荷和动载荷作用下的性能大不相同,分析方法也有很大差异。因静载荷问题相对简单,所建立的理论和分析方法则可作为求解动载荷问题的基础,所以首先研究静载荷问题。
1.4 内力、截面法和应力
构件工作时,总要受到外力的作用。在静力学中,已经讨论了外力的计算问题,但仅仅知道构件上的外力,仍不能解决构件的强度和刚度等问题,还需进一步了解构件的内力。为此,本节首先介绍内力的概念及其求法,然后介绍应力的概念。
1. 内力的概念
构件受到外力作用时,其内部各质点间的相对位置将发生改变,由此而引起的质点间的相互作用就是内力(internal forces)。物体是由无数颗粒组成的,在未受外力作用时,各颗粒间就存在着相互作用的内力,以维持它们之间的联系及保持物体的原有形状。当物体受到外力作用而变形时,各颗粒间的相对位置将发生改变,从而引起颗粒间的内力的变化,这个因外力作用而引起内力的改变量,即“附加内力”,就是材料力学中所要研究的内力。这样的内力随外力的增加而增大,到达某一极限时就会引起构件破坏,因而它与构件的强度密切相关。
还需注意,材料力学中所指的内力与静力学中曾经介绍的内力有所不同。静力学中的内力是在讨论物体系统的平衡时,各个物体之间的相互作用力,相对于整个系统来说是内力,但对于一个物体来说,就属于外力了。
2. 截面法
截面法是材料力学中计算内力的基本方法。如图1.5(a)所示，一构件受外力作用而处于平衡状态，为了显示 m-m 截面上的内力，假想用平面沿 m-m 截面把构件截成I、II两个部分，如图1.5(b)所示。任取其中一部分作为研究对象，如II部分，在II部分上作用有外力 F3 和 F4，欲使II保持平衡，在 m-m 截面上必然有I部分对II部分的作用力。按照连续性假设，截面上各处都有内力作用，所以该力是作用于截面上的一个分布内力系。把这个分布内力系向截面上某一点简化后得到的主矢和主矩，就是截面上的内力。建立II部分的平衡方程，即可求出 m-m 截面上的内力。若取I部分作为研究对象，在 m-m 截面上必然有II部分对I部分的作用力，根据作用与反作用定律可知，I、II两个部分之间的相互作用力必然大小相等、方向相反，因此，无论取哪一部分作为研究对象，求出来的内力大小都相等。上述用截面假想把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法称为截面法（method of sections）。可将其归纳为以下三个步骤：
（1）欲求构件某一截面上的内力时，就沿该截面假想把构件分成两部分，任取一部分作为研究对象，并弃去另一部分。
(2) 用内力代替弃去部分对留下部分的作用。
(3) 建立留下部分的平衡方程, 确定未知的内力。
图1.5
例 1.1 交通信号灯支架如图 1.6(a) 所示, 受各交通信号指示灯及标牌等重力共同作用, 试确定横杆截面 m-m 和立柱 n-n 截面上的内力。
解: 不计支架自身重力, 可将该交通信号灯支架简化为如图 1.6(b) 所示的力学模型。
（1）采用截面法，沿 m-m 截面（或 n-n 截面）假想将支架分成两部分，取截面左半（或上半）部分作为研究对象，并以截面形心 O 为原点，选取坐标系如图 1.6(c) 和 (d) 所示。
(2) 截面左半部分受 G1,G2,G3,G4 (或 G1,G2,G3,G4 和 G5) 的作用, 为保持平衡, 截面右半 (或下半) 部分必然以内力 Fx,Fy 及 M 作用于截面上, 它们是截面上分布内力系向形心 O 点简化后的结果, 其中, Fx 和 Fy 为通过 O 点的合力, M 为对 O 点的力偶矩。
图1.6
(3) 由平衡条件
对于 m—m 截面,有
求得内力 Fy1 和 
为
Fy1=G1+G2+G3+G4
对于 n-n 截面,有
求得内力 Fy2 和 
为
Fy2=G1+G2+G3+G4+G5
M2=-5aG1-4aG2-3aG3-2aG4-aG5
知识拓展
交通信号灯是交通安全工程的重要组成部分，支架看似简单，但包含了重要的力学原理。通过本例学习，可知交通指示灯越多越重，信号灯支架承受的内力越大，也可明白为何交通信号灯支架横杆要设计成粗细渐变的形式。而掌握坚实的专业知识，是我们今后为国家做出应有贡献的前提和保障。
3. 应力
通过截面法,可以求出构件的内力。但仅求出内力并不能解决构件的强度问题,同样的内力作用在大小不同的截面上,对物体产生的破坏作用不同,也就是说内力并不能说明分布内力系在截面内某一点处的强弱程度,为此引入应力的概念。
在图 1.7(a) 所示的截面 m-m 上任选一点 C，围绕 C 点取一个微小面积 ΔA ，设作用在该微小面积上的分布内力的合力为 ΔF 。 ΔF 的大小和方向与 C 点的位置和 ΔA 的大小有关。 ΔF 与 ΔA 的比值为
pm 是一个矢量, 代表在 ΔA 范围内, 单位面积上内力的平均集度, 称为平均应力。随着 ΔA 逐渐缩小, pm 的大小和方向都将逐渐变化。当 ΔA 趋于零时, pm 的大小和方向都将趋于一定极限。这时有
p 称为 C 点的应力(stress)，它是分布内力系在 C 点的集度，反映内力系在 C 点的强弱程度。p 是一个矢量，一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，通常把应力 p 分解成垂直于截面的分量 σ 和切于截面的分量 τ ，如图 1.7(b) 所示， σ 称为正应力 (normal stress)， τ 称为切应力 (shear stress)。
图1.7
应力的单位是 Pa(帕)，称为帕斯卡， 1Pa=1N/m2 。这个单位太小，使用不便，通常使用 MPa， 1MPa=106Pa 。
1.5 变形与应变
在外力作用下,固体内任意两点相对位置的改变,称为变形(deformation)。宏观上表现为固体的尺寸和形状的改变。
为了讨论构件内部 M 处的变形，设想围绕 M 点取边长为 Δx 、 Δy 、 Δz 的微小正六面体 [当六面体的边长趋于无限小时称为单元体 (element)]，如图 1.8(a) 所示。变形后六面体的边长及棱边的夹角都将发生变化，如图 1.8(a) 所示的虚线。将六面体投影于 xy 平面，如图 1.8(b) 所示。变形前平行于 x 轴的线段 
原长为 Δx ，变形后 M 和 N 分别移到 M' 和 N' ， 
的长度为 Δx+Δs 。 Δs 代表线段 的长度变化，也称为线段 沿 x 方向的绝对变形。绝对变形的大小与线段的原长有关，并且构件内各部分的变形不一定均匀，所以引用相对变形 (relative deformation) 或应变 (strain) 这个物理量来表示一点的变形程度。
以 x 方向绝对变形比原长表示线段 MN 沿 x 方向每单位长度的平均伸长或缩短, 称为平均线应变, 用符号 εm 表示。
逐渐缩小 N 点和 M 点之间的距离, 使 MN 趋于零, 则 εm 的极限为
ε 称为 M 点沿 x 方向的正应变或线应变 (normal strain)。如果线段 MN 内各点沿 x 方向的变形是均匀的，则平均应变也就是 M 点的应变。如果在 内各点的变形不均匀，则只有由式 (1.4) 定义的应变，才能表示 M 点沿 x 方向长度变化的程度。用完全相似的方法，可以讨论沿 y 和 z 方向的应变。
图1.8
现在再来讨论六面体棱边的夹角变化。在图1.8(b)中，变形前 和 
相互垂直，变形后 和 
的夹角变为 ∠L'M'N' 。变形前、后角度的变化为 
。当 N 和 L 趋于 M 时，上述角度变化的极限值为
称为 M 点在 xy 平面内的切应变或角应变(shear strain)。
线应变 ε 与切应变 γ 是度量一点处变形程度的两个基本量，它们都是无量纲量。线应变 ε 与正应力 σ 有密切关系，切应变 γ 与切应力 τ 有密切关系，在后面我们讲到胡克定律时再作详细介绍。
例 1.2 如图 1.9 所示的平板构件 ABCD，其变形如图中虚线所示。试求棱边 AB 与 AD 的平均线应变及 A 点处 xy 平面内的切应变。
图1.9
解:棱边 AB 的长度没有改变,故其平均线应变为零。即
εAB,m=0
棱边 AD 的长度改变量为
所以,棱边 AD 的平均线应变为
负号表示棱边 AD 为缩短变形。
A 点处的切应变 γ 是一个很小的量, 因此,
应当指出,由于构件的变形很小,在计算线应变 εAD,m 时,通常以投影 AG 的长度代替线段 AD' 的长度。于是得棱边 AD 的平均线应变为
与式(1.6)结果相比,误差仅为0.2%。
1.6 杆件变形的基本形式
在工程实际中,构件的形式是多种多样的,主要有杆件、平板和壳体等。所谓杆件(bar),就是指长度方向尺寸远大于横截面尺寸的构件，是工程中最常见、最基本的构件形式，如连杆、传动轴、立柱、丝杆、吊钩等都是典型的杆件。杆件是材料力学研究的主要对象，杆件的问题解决了，不仅解决了工程实际中大部分构件的问题，也为解决其他形式构件的问题提供了基础。例如，齿轮上的轮齿、桥式起重机的大梁、轧钢机的机架等构件，都可以简化为杆件或杆件的组合结构来处理。
杆件的轴线是杆件各横截面形心的连线。轴线为直线的杆件称为直杆，轴线为曲线的杆件称为曲杆。杆件横截面大小和形状不变的直杆称为等截面直杆，简称为等直杆(uniform-section bar)。
构件在工作时的受力情况是各不相同的,受力后所产生的变形也随之而异。对于杆件来说,受力后所产生的变形有以下四种基本形式。
(1)拉伸或压缩(tension or compression):作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合,杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。例如,托架的拉杆和压杆受力后所发生的变形就属于拉伸和压缩变形,如图1.10(a)所示。
(2)剪切(shear):作用在杆件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反、垂直于杆轴线且作用线很近,位于两个力之间的截面沿外力作用方向发生相对错动。例如,连接件中的螺栓受力后产生剪切变形,如图1.10(b)所示。
图1.10
(3)扭转(torsion): 杆件的两端受到大小相等、方向相反, 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。例如, 机器中的传动轴就是受扭杆件, 如图 1.10(c) 所示。
(4)弯曲(bending):作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线,使原为直线的轴线变形后成为曲线。例如，单梁吊车的横梁受力后所发生的变形就属于弯曲变形，如图1.10(d)所示。
有些杆件同时发生几种基本变形,如车床主轴工作时常发生弯曲、扭转和压缩三种基本变形,钻床立柱同时发生拉伸和弯曲两种基本变形,这种情况称为组合变形(combined deformation)。本书首先讨论四种基本变形的强度及刚度计算,然后讨论组合变形。